Question

【題目】如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．
（Ⅰ）求證：BE=DE；
（Ⅱ）若AB=2 ，AE=3 ，平面EBD⊥平面ABCD，直線AE與平面ABD所成的角為45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BD中點O，連結CO，EO， ∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，∵O為BD的中點，∴BE=DE．
（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，
EO⊥BD，
∴EO⊥平面ABCD，又∵CO⊥BD，AO⊥BD，
∴A，O，C三點共線，AC⊥BD，
以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，
在正△ABCD中，AB=2 ，∴AO=3，BO=DO= ，
∵直線AE與平面ABD所成角為45°，∴EO=AO=3，
A（3，0，0），B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），E（0，0，3），
=（﹣3， ，0）， =（﹣3，﹣ ，0）， =（﹣3，0，3），
設平面ABE的法向量 =（a，b，c），
則 ，取a=1，得 =（1， ，1），
設平面ADE的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，1），
設二面角B﹣AE﹣D為θ，
則cosθ= = = ．
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BD中點O，連結CO，EO，推導出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能證明BE=DE．（Ⅱ）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用棱錐的結構特征，掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方即可以解答此題．