Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，得到曲線，在以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程是.

（1）寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】（1）參數(shù)方程為為參數(shù)），（2）取最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)是

【解析】試題分析：（1）先求出曲線的普通方程，從而可寫出曲線的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式，即可求出直線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的距離的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求解最大值，并求出最大值時(shí)的坐標(biāo).

試題解析：(1)由題意知，曲線C2方程為，參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))．直線l的直角坐標(biāo)方程為2x－y－6＝0.

(2)設(shè)P(cos φ，2sin φ)，則點(diǎn)P到直線l的距離為

.

∴當(dāng)sin(60°－φ)＝－1時(shí)，d取最大值，此時(shí)取φ＝150°，點(diǎn)P坐標(biāo)是.