Question

已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)xy≠1，直線l的方程為
（I）判斷直線l與橢圓E交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（II）直線l過(guò)P點(diǎn)與直線l垂直，點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，直線PN恒過(guò)一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得，由，知，所以x²-2xx+x²=0，再由根的判別式知直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)．
（II）直線l的方程為2yx-xy-xy=0．設(shè)M（-1，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（m，n），則，由此能夠?qū)С鲋本�PN恒過(guò)定點(diǎn)G（1，0）．
解答：解：（I）由，消去y，并整理得，…（2分）
∵，∴，
∴x²-2xx+x²=0，…（4分）
∴△=4x²-4x²=0，
故直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)…（5分）
（II）直線l的方程為x（y-y）=2y（x-x），
即2yx-xy-xy=0．…（6分）
設(shè)M（-1，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（m，n），
則，
解得．…（8分）
∴直線PN的斜率為k=，
從而直線PN的方程為
，
即，
從而直線PN恒過(guò)定點(diǎn)G（1，0）．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容量算錯(cuò)，要多加注意．