Question

設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓

x2

4

+y=1內(nèi)一定點（不在坐標軸上），過點P的兩直線分別與橢圓交于A，C和B，D，若AB∥CD．
（Ⅰ）證明：直線AB的斜率為定值；
（Ⅱ）過點P作AB的平行線，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，證明：點P平分線段EF．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

得到

x3= (1+λ)x0-x1 λ y3= (1+λ)y0-y1 λ

，再由點C在橢圓上，即可得到

[(1+λ)x0-x1]2

4λ2

+

[(1+λ)y0-y1]2

λ2

=1，又由點A在橢圓上以及AB∥CD，得到x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，又易知不與坐標軸平行，即得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到直線EF的方程為y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，代入橢圓方程整理得到

x02+4y02

16y02

x2-

x0 (x 2 0 +4 y 2 0 )

8 y 2 0

x+

x 2 0

2

+

y

2 0

-1=0，即得到xE+xF=-

- x0( x 2 0 +4 y 2 0 ) 8 y 2 0

x 2 0 +4 y 2 0 16 y 2 0

=2x，故得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

AP

=λ

PC

，
則

x0-x1=λ(x3-x0) y0-y1=λ(y3-y0)

，∴

x3= (1+λ)x0-x1 λ y3= (1+λ)y0-y1 λ

，
∵點C在橢圓上，∴

x 2 3

4

+y

2 3

=1，
即

[(1+λ)x0-x1]2

4λ2

+

[(1+λ)y0-y1]2

λ2

=1，
整理得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x1+4y0y1)+(

x 2 1

4

+

y

2 1

)=λ2+(

x 2 1

4

+

y

2 1

)=λ2，
又點A在橢圓上，∴

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，
從而可得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x1+4y0y1)=λ2-1=λ²-1   ①
又∵AB∥CD，故有

BP

=λ

PD

．
同理可得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x2+y0y2)=λ2-1   ②
②-①得
x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，
∵P點不在坐標軸上，∴x₀≠0，y₀≠0，
又易知不與坐標軸平行，∴直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，為定值；
（Ⅱ）直線EF的方程為y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，
代入橢圓方程得

x2

4

+[-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀]²=1，
整理得到

x02+4y02

16y02

x2-

x0 (x 2 0 +4 y 2 0 )

8 y 2 0

x+

x 2 0

2

+

y

2 0

-1=0，
∴xE+xF=-

- x0( x 2 0 +4 y 2 0 ) 8 y 2 0

x 2 0 +4 y 2 0 16 y 2 0

=2x，
故EP=PF．

點評：本題考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．