Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時，函數(shù)取極值1；若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立，則s的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為減函數(shù)f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，從而得出f（x）的最大最小值，從而求出當(dāng)|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立時s的最小值

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數(shù)
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依題意有f′（-1）=0且f（-1）=1
∴

3a+c=0 -a-c=1

，解得；

a= 1 2 c=- 3 2

，
∴f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，
∴f′（x）=

3

2

（x-1）（x+1），
x∈（-1，1）時f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是減函數(shù)，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
則|f（x）|≤1，⇒f_max（x）=1，f_min（x）=-1，
當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max|+|f（x）_min|≤1+1=2
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤s中s的最小值為2，
∴s的最小值2，
故答案為：2．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及絕對值不等式的性質(zhì)．屬于中檔題．