【題目】如圖,AC是圓O的直徑,點(diǎn)B在圓O上, , 交于,
(1)證明: ;
(2) 求平面與所成的銳角二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)先利用線面垂直的性質(zhì)和判定得到線線垂直和線面垂直,再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角和線面垂直的性質(zhì)、等腰直角三角形得到線線垂直,進(jìn)而利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明;(2)根據(jù)垂直關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求出有關(guān)平面的法向量,再利用有關(guān)公式進(jìn)行求解 .
試題解析:(1)證明:∵EA⊥平面ABC,BM平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圓O的直徑,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=,BC=2,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC‖EA, ∴FC⊥平面ABCD.
∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理證得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)解法一:延長(zhǎng)EF交AC于G,連BG,過(guò)C作CH⊥BG,連接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH平面FCH,∴FH⊥BG,
∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=ABsin=.
由.
∵與相似, ,
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHCspan>=45°.∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為
解法二:如圖:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC、AE分別為y軸和Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由已知得, ,
設(shè)平面的法向量為,
由 得
令,由得平面ABC的一個(gè)法向量為
設(shè)平面與所成的銳角二面角為,
則
所以,平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a>0)在其定義域上為奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= ,(x∈(﹣∞,0]∪[2,+∞))的值域?yàn)椋?/span> )
A.[0,4]
B.[0,2)∪(2,4]
C.(﹣∞,0]∪[4,+∞)
D.(﹣∞,2)∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)函數(shù):①y=3﹣x;② ;③y=x2+2x﹣10;④ ,其中值域?yàn)镽的函數(shù)有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(1)確定與的關(guān)系;若,并試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn) ,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓為參數(shù)和直線 其中為參數(shù), 為直線的傾斜角.
(1)當(dāng)時(shí),求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值;
(2)當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù), ),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2﹣12x+32=0.
(1)若直線l和圓相切,求直線l的方程;
(2)若直線l和圓交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),問(wèn)是否存在常數(shù)k,使得+與共線?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線 上有一點(diǎn)(),點(diǎn)在軸上的射影恰好是雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為, ,若平行四邊形的面積為1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A. B. C. D.
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