【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CD⊥AE;
(Ⅱ)證明:PD⊥平面ABE;
(Ⅲ)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.

【答案】(Ⅰ)證明:在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴CD⊥PA.
又CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥面PAC,
∵AE面PAC,故CD⊥AE.
(Ⅱ)證明:由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得PA=AC,
∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC,
由(1)知CD⊥AE,從而AE⊥面PCD,故AE⊥PD.
由(Ⅰ)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
而PD平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,AB⊥AD,∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A,∴PD⊥面ABE
(Ⅲ)解:過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD,垂足為M,連接EM,則(Ⅱ)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,則EM⊥PD,因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個(gè)平面角.
由已知,得∠CAD=30°.設(shè)AC=a,則PA=a,AD= ,PD= ,AE=
在直角△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM×PD=PA×AD,∴AM=
在直角△AEM中,AE= ,AM= ,∴EM= a
∴tan∠AME= =
所以二面角A﹣PD﹣C的正切值為

【解析】(Ⅰ)由PA⊥底面ABCD,可得 CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,從而證得CD⊥AE;(Ⅱ)由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AE⊥PC,由(Ⅰ)知CD⊥AE,從而AE⊥面PCD,AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE;(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD,由(Ⅱ)知,AE⊥面PCD,故∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個(gè)平面角,用面積法求得AE和AM,從而可求 二面角A﹣PD﹣C的正切值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.

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