Question

已知點(diǎn)D在定線段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一個(gè)動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)D且與MN相切，分別過(guò)M、N作圓C的另兩條切線交于點(diǎn)P．

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M作直線l與所求軌跡交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，若(＋λ)·(－λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]，求直線l與直線MN夾角的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)以直線MN為x軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O， 　　建立直角坐標(biāo)系xOy．　　1分 　　∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝2 　　或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－2　　3分 　　∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(不包含頂點(diǎn))， 　　其軌跡方程為(y≠0)　　5分 　　(Ⅱ)∵(＋λ)·(－λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]， 　　∴＝±λ，　　6分 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2) 　　設(shè)AB：my＝x＋2，代入得，3(my－2)2－y2－3＝0， 　　即(3m2－1)y2－12my＋9＝0． 　　∴　　7分 　�、佼�(dāng)＝λ時(shí)，y1＝λy2，∴　　8分 　　得，，　　9分 　　∴∈[4，6]，即4≤≤6． 　　∴解得，m2≥3，故tan2≤　　10分 　�、诋�(dāng)＝－λ時(shí)y1＝－λy2，∴　　11分 　　得，，即． 　　∵λ∈[2－，2＋]，∈[2，4] 　　∴∈[－2，0]，即－2≤≤0． 　　∴即，故tan2≥11．　　13分 　　由①、②得tan2≤或tan2≥11． 　　則夾角∈(0，]∪[arctan，)，　　14分 　　∵tan不存在時(shí)，直線l符合條件，故＝時(shí)，符合題意． 　　∴∈(0，]∪[arctan，)．　　15分