已知點D在定線段MN上,且|MN|=3,|DN|=1,一個動圓C過點D且與MN相切,分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P

(Ⅰ)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担簏cP的軌跡方程;

(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(λ)·(λ)=0,且λ∈[2-,2+],求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)以直線MNx軸,MN的中點為坐標原點O,

  建立直角坐標系xOy.   1分

  ∵PMPN=(PEEM)-(PFFN)=MDND=2

  或PMPN=(PEEM)-(PFFN)=MDND=-2   3分

  ∴點P的軌跡是以MN為焦點,實軸長為2的雙曲線(不包含頂點),

  其軌跡方程為(y≠0)  5分

  (Ⅱ)∵(λ)·(λ)=0,且λ∈[2-,2+],

  ∴=±λ,   6分

  設A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1+2,y1),=(x2+2,y2)

  設ABmyx+2,代入得,3(my-2)2y2-3=0,

  即(3m2-1)y2-12my+9=0.

  ∴   7分

 、佼λ時,y1λy2,∴   8分

  得,,   9分

  ∴∈[4,6],即4≤≤6.

  ∴ 解得,m2≥3,故tan2θ   10分

  ②當=-λy1=-λy2,∴   11分

  得,,即

  ∵λ∈[2,2+],∈[2,4]

  ∴∈[-2,0],即-2≤≤0.

  ∴ 即,故tan2θ≥11.   13分

  由①、②得tan2θ或tan2θ≥11.

  則夾角θ∈(0,]∪[arctan,),   14分

  ∵tanθ不存在時,直線l符合條件,故θ時,符合題意.

  ∴θ∈(0,]∪[arctan,).   15分


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(Ⅰ)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担簏cP的軌跡方程;
(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(
MA
MB
)•(
MA
MB
)=0,且λ∈[2-
3
,2+
3
],求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍.

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(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(數(shù)學公式數(shù)學公式)•(數(shù)學公式數(shù)學公式)=0,且λ∈[2-數(shù)學公式,2+數(shù)學公式],求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍.

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