【題目】如圖,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求| |;
(2)已知點D是AB上一點,滿足 =λ ,點E是邊CB上一點,滿足 =λ . ①當(dāng)λ= 時,求 ;
②是否存在非零實數(shù)λ,使得 ⊥ ?若存在,求出的λ值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°,
由余弦定理得,
AB2=CA2+CB2﹣2CACBcos∠ACB
=12+22﹣2×1×2×cos60°
=3,
∴AB= ,即| |= ;
(2)解:①λ= 時, = , = ,
∴D、E分別是BC,AB的中點,
∴ = + = + ,
= ( + ),
∴ =( + ) ( + )
= + + +
=﹣ ×12+ ×1×2×cos120°+ ×2×1×cos60°+ ×22
= ;
②假設(shè)存在非零實數(shù)λ,使得 ⊥ ,
由 =λ ,得 =λ( ﹣ ),
∴ = + = +λ( ﹣ )=λ +(1﹣λ) ;
又 =λ ,
∴ = + =( ﹣ )+λ(﹣ )=(1﹣λ) ﹣ ;
∴ =λ(1﹣λ) ﹣λ +(1﹣λ)2 ﹣(1﹣λ)
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=﹣3λ2+2λ=0,
解得λ= 或λ=0(不合題意,舍去);
即存在非零實數(shù)λ= ,使得 ⊥ .
【解析】(1)利用余弦定理求出AB的長即得| |;(2)①λ= 時,D、E分別是BC,AB的中點,求出 、 的數(shù)量積即可;②假設(shè)存在非零實數(shù)λ,使得 ⊥ ,利用 、 分別表示出 和 ,
求出 =0時的λ值即可.
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【題目】已知全集U為R,集合A={x|x2<4},B= (x﹣2)},則下列關(guān)系正確的是( )
A.A∪B=R
B.A∪(∪B)=R
C.(∪A)∪B=R
D.A∩(∪B)=A
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2,a∈R.
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為[﹣1,2],求實數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a<0時,解關(guān)于x的不等式f(x)≤0.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最下正周期為π,且點P( ,2)是該函數(shù)圖象的一個人最高點.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若x∈[﹣ ,0],求函數(shù)y=f(x)的值域;
(3)把函數(shù)y=f(x)的圖線向右平移θ(0<θ< )個單位,得到函數(shù)y=g(x)在[0, ]上是單調(diào)增函數(shù),求θ的取值范圍.
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【題目】葫蘆島市交通局為了解機動車駕駛員對交通法規(guī)的知曉情況,對渤海、豐樂、安寧、天正四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.其中渤海社區(qū)有駕駛員96人.若在渤海、豐樂、安寧、天正四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則豐樂、安寧、天正三個社區(qū)駕駛員人數(shù)是多少( )
A.101
B.808
C.712
D.89
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量 , ,定點 的坐標(biāo)為 ,點 滿足 ,曲線 ,區(qū)域 ,曲線 與區(qū)域 的交集為兩段分離的曲線,則( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某單位實行休年假制度三年以來,50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如表所示:
根據(jù)下表信息解答以下問題:
休假次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
人數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1)從該單位任選兩名職工,用η表示這兩人休年假次數(shù)之和,記“函數(shù)f(x)=x2﹣ηx﹣1在區(qū)間(4,6)上有且只有一個零點”為事件A,求事件A發(fā)生的概率P;
(2)從該單位任選兩名職工,用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)證明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
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