Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線L：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線L與圓C總有兩個不同交點；
（2）設(shè)L與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1，1）分弦AB所得向量滿足

AP

=

1

2

PB

，求此時直線L的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）直線L過定點P（1，1）在圓內(nèi)，即可得出結(jié)論；
（2）分類討論，利用CM⊥MP，可求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）利用

AP

=

1

2

PB

，確定A，B橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，直線與圓聯(lián)解，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：由于直線L的方程是mx-y+1-m=0，即y-1=m（x-1），經(jīng)過定點P（1，1）在圓內(nèi)，
∴對m∈R，直線L與圓C總有兩個不同交點；
（2）解：當(dāng)M不與P重合時，連接CM、CP，則CM⊥MP，
設(shè)M（x，y），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，化簡得：x²+y²-x-2y+1=0；
當(dāng)M與P重合時，滿足上式．
（3）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵

AP

=

1

2

PB

，
∴1-x₁=

1

2

（x₂-1），
∴x₂=3-2x₁，
直線與圓聯(lián)解得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0   （*）
∴x₁+x₂=

2m2

1+m2

∴可得x1=

3+m2

1+m2

，
代入（*）得m=±1直線方程為x-y=0或x+y-2=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過定點問題，求點的軌跡方程，屬于中檔題．