Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）滿足條件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(

1

π

)2-tx在t∈[-2，2]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件①得對稱軸方程求得b=2a；再利用條件②求出b和a之間的另一關(guān)系式，聯(lián)立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用π＞1把原不等式轉(zhuǎn)化為

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]時(shí)恒成立，再把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的恒成立問題即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）∵由①f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，
即ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相同的實(shí)根；
故△=（b-1）²=0?b=1，a=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(

1

π

)2-tx?f（x）＞tx-2．
因?yàn)?span id="awkika2" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]時(shí)恒成立等價(jià)于
函數(shù)g（t）=xt-（

1

2

x²+x+2）＜0，t∈[-2，2]時(shí)恒成立；
∴

g(-2)＜0 g(2)＜0

?

x2-2x+4＞0 x2+6x+4＞0

?x＜-3-

5

，x＞-3+

5

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)恒成立問題．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移，對稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起．