Question

已知點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、P，PF垂直于x軸，直線AF交橢圓于點(diǎn)B，PB⊥PA，則該橢圓的離心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意得該橢圓的形狀確定，與大小無(wú)關(guān)．因此設(shè)a=1，得P（c，b²），從而A（-c，-b²），可得到直線AF的方程為：y=（x-c），與橢圓方程聯(lián)解得出點(diǎn)B（，），由此得出PB的斜率k₁，并化簡(jiǎn)得k₁=-2c，結(jié)合PA的斜率k₂=且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=，最終得出該橢圓的離心率e．
解答：解：根據(jù)題意橢圓的離心率為定值，故橢圓的形狀確定，與大小無(wú)關(guān)
因此設(shè)a=1，得橢圓的方程為，
求出橢圓的半焦距c，即得橢圓的離心率．
由F（c，0）及PF⊥x軸，得P（c，b²）
∵PA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O
∴A的坐標(biāo)為（-c，-b²），得直線AF的斜率k==
∴直線AF的方程為：y=（x-c）
由聯(lián)解，得B的橫坐標(biāo)x_B=，
將b²=1-c²代入，化簡(jiǎn)得x_B=，代入直線AF方程，得B的縱坐標(biāo)y_B=
∴直線PB的斜率k₁==-2c
∵PA的斜率k₂=，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•=-1，解之得b=c=
因此，該橢圓的離心率e==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足特殊條件的橢圓，求該橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．