Question

已知MN為長(zhǎng)寬高分別為3，4，5的長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的一條直徑，P為該長(zhǎng)方體表面上任一點(diǎn)，則MN=

 

，

PM

•

PN

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：|MN|=

32+42+52

．如圖所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．設(shè)P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．可得

PM

•

PN

=

MP

•(

MP

-

MN

)=x²+y²+z²-4x-5y-3z
=（x-2）²+(y-

5

2

)2+(z-

3

2

)2-

50

4

，即可得出．

解答： 解：|MN|=

32+42+52

=5

2

．
如圖所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．
設(shè)P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．

PM

•

PN

=

MP

•

NP

=

MP

•(

MP

-

MN

)=

MP

2-

MN

•

MP

=x²+y²+z²-4x-5y-3z
=（x-2）²+(y-

5

2

)2+(z-

3

2

)2-

50

4

，
≥0+0+

9

4

-

50

4

=-

41

4

，即x=2，y=

5

2

，z=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi)．
故答案分別為：5

2

，-

41

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、外接球的性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．