Question

（2011•西安模擬）某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可通過(guò)考查．已知6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）求考生甲通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)x₁，x₂的概率分布列；
（Ⅲ）試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲生要通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查，就要正確完成所抽取3道題中的2道或3道，由此能求出考生甲通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查的概率．
（Ⅱ）由x₁=1，2，3，P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，由此能求出甲考生正確完成題數(shù)x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，由此能求出乙考生正確完成題數(shù)x₂的概率分布列．
（Ⅲ）分別求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相對(duì)集中于均值2的周圍，因此甲生的實(shí)際操作能力比乙生強(qiáng)．

解答：解：（Ⅰ）∵甲生要通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查，就要正確完成所抽取3道題中的2道或3道，
∴所求概率p=

C 2 4 C 1 2 + C 3 4

C 2 6

=

4

5

．
（Ⅱ）∵x₁=1，2，3，
P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
∴甲考生正確完成題數(shù)x₁的概率分布列為

x1	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∵x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，
P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，
P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，
∴乙考生正確完成題數(shù)x₂的概率分布列為：

x2	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

（Ⅲ）∵Ex1=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
Ex₂=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2，
∴Ex₁=Ex₂，這表明甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．

∵Dx1=(1-2)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(3-2)2×

1

5

=

2

5

，
Dx2=(0-2)2×

1

27

+(1-2)2×

2

9

+(2-2)2×

4

9

+(3-2)2×

8

27

=

2

3

，
∴Dx₁＜Dx₂，這表明x₁的取值比x₂的取值相對(duì)集中于均值2的周圍，
因此甲生的實(shí)際操作能力比乙生強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算和分布列的求法，考查利用數(shù)學(xué)期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)期望和方差在實(shí)際問(wèn)題中的靈活運(yùn)用．