Question

設(shè)橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，在x軸的負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足

BF1

=

F1F2

，且

AB

•

AF2

=0
（1）若過A，B，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓C恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求圓C的方程及橢圓D的方程；
（2）若過點(diǎn)T（3，0）的直線與橢圓D相交于兩點(diǎn)M，N，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

OM

+

ON

=t•

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用

BF1

=

F1F2

，可得F₁為BF₂的中點(diǎn)，根據(jù)AB⊥AF₂，可得a，c的關(guān)系，利用過A、B、F₂三點(diǎn)的圓C恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求出a，即可求出橢圓的方程與圓的方程；
（2）設(shè)直線MN方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（0，b）．
因?yàn)锳B⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，
又因?yàn)?span id="yqtoyez" class="MathJye">

BF1

=

F1F2

，所以F₁為BF₂的中點(diǎn)，
所以（4c）²=（

9c2+b2

）²+a²，
又a²=b²+c²，所以a=2c．
所以F₂（

a

2

，0），B（-

3

2

a，0），
Rt△ABF₂的外接圓圓心為F₁（-

a

2

，0），半徑r=a，
因?yàn)檫^A、B、F₂三點(diǎn)的圓C恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，
所以

|- 1 2 a-3|

1+3

=a，解得a=2，所以c=1，b=

3

．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，圓的方程為（x+1）²+y²=1；
（2）設(shè)直線MN方程為y=k（x-3），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），
將直線方程代入橢圓方程，消去y，可得
（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
∴△=（24k²）-4（4k²+3）（36k²-12）＞0，∴k²＜

3

5

，
又x₁+x₂=

24k2

4k2+3

，x₁x₂=

36k2-12

4k2+3

，
∵

OM

+

ON

=t

OP

，
∴x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
∴tx=

24k2

4k2+3

，ty=

-18k

4k2+3

，
∴x=

24k2

(4k2+3)t

，y=

-18k

(4k2+3)t

，
代入橢圓方程可得3×[

24k2

(4k2+3)t

]²+4×[

-18k

(4k2+3)t

]²=12，
整理得t²=

36k2

4k2+3

=

36

4+ 3 k2

∵k²＜

3

5

，∴0＜t²＜4，
∴實(shí)數(shù)t取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓方程與圓的方程的求法，考查直線與圓相切的條件，考查直線與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，具有一定的運(yùn)算量．