Question

【題目】設(shè)集合表示具有下列性質(zhì)的函數(shù)的集合：①的定義域?yàn)?/span>；②對任意，都有

（1）若函數(shù)，證明是奇函數(shù)；并當(dāng)，，求，的值；

（2）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）是奇函數(shù)，判斷是否屬于，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析，，

（2），證明見解析

（3）或時(shí)，3個(gè)零點(diǎn)；或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，5個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）利用賦值法和奇函數(shù)的定義證明函數(shù)是奇函數(shù)，由題得的方程組，解方程組即得解；（2）先求出a的值，再利用的定義證明；（3）令h(x)=t,則h(t)=2，再分類討論數(shù)形結(jié)合分析得解.

（1）令得.

令，，所以函數(shù)是奇函數(shù).

,

解上面關(guān)于的方程組得，.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)（a為常數(shù)）是奇函數(shù)，

所以.滿足函數(shù)g(x)是奇函數(shù).

設(shè)，所以，

因?yàn)?/span>，

所以.

（3）令.

令h(x)=t,則h(t)=2，

所以函數(shù)

當(dāng)k=0時(shí)，，則，此時(shí)只有一個(gè)解，一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對應(yīng)三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

，

所以在，，三個(gè)t各對應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，，三個(gè)t各對應(yīng)一個(gè)，一個(gè)，三個(gè)零點(diǎn)，共五個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，h(t)=2只有一個(gè)解，，對應(yīng)一個(gè)零點(diǎn).

綜合得或時(shí)，3個(gè)零點(diǎn)；或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，5個(gè)零點(diǎn).