Question

【題目】已知橢圓C： =1的離心率為 ，焦距為2，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得 為定值？若存在，求出定值和定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得2c=2，e= = ，

可得c=1，a= ，b= =1，

即有橢圓的方程為 +y2=1

（2）解：在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得 為定值．

若直線的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），

由y=k（x﹣1）代入橢圓方程x2+2y2=2，

可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]

=k2（ +1﹣ ）=﹣ ，

則 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2

= +m2﹣m ﹣ = ，

欲使得 為定值，則2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），

解得m= ，

此時(shí) = ﹣2=﹣ ；

當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，令x=1，代入橢圓方程，可得y=± ，

由M（ ，0），可得 ﹣ ，符合題意．

故在x軸上存在定點(diǎn)M（ ，0），使得 為定值﹣

【解析】（1）由題意可得c=1，運(yùn)用離心率公式可得a= ，由a，b，c的關(guān)系可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得 為定值．若直線的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，F(xiàn)（1，0），由y=k（x﹣1）代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合恒成立思想，即可得到定點(diǎn)和定值；檢驗(yàn)直線AB的斜率不存在時(shí)，也成立．