Question

對于函數(shù)f（x）=x^m（1-x）ⁿ（m∈N^*，n∈N^*），下列命題正確的有

 

．（寫出所有正確命題的序號）
①f（x）值域為R；
②對任意不全為奇數(shù)的m，n．函數(shù)f（x）的圖象與x軸相切；
③函數(shù)f（x）一定存在極值；
④存在m，n，使f（x）為奇函數(shù)；
⑤當(dāng)x?[0，1]時，f（x）≤

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：取m，n為偶數(shù)判斷①；分別取m，n為偶數(shù)判斷②；由f（0）=f（1）=0，且f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)判斷③；舉反例判斷④；由函數(shù)的單調(diào)性及m=n=1時f（x）=x（1-x）≤

1

4

判斷⑤．

解答： 解：對于①，當(dāng)m，n均為偶數(shù)時，f（x）≥0，故①錯誤；
對于②，當(dāng)m為偶數(shù)時，f（x）的圖象與x軸相切于（0，0），當(dāng)n為偶數(shù)時，f（x）的圖象與x軸相切于（1，0），故②正確；
對于③，∵f（0）=f（1）=0，且f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)連續(xù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)不單調(diào)，故有極值點(diǎn)，故③正確；
對于④，∵f（1）=0且f（-1）≠0，故④錯誤；
對于⑤，當(dāng)x∈[0，1]時，隨著m，n的增大f（x）的函數(shù)值變小，當(dāng)m=n=1時，f（x）=x（1-x）≤

1

4

，故⑤正確．
∴正確的命題是②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了特值驗證法及舉反例法判斷命題的真假，考查了由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是中檔題．