【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)、.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；

（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點(diǎn).證明：為定值，并求出該定值.

【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；

（2）為定值，證明見解析.

【解析】

（1）利用拋物線的定義結(jié)合條件，可得出，于是可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出直線的方程，并得出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出和的表達(dá)式，可得出，然后利用二倍角公式可計(jì)算出為定值，進(jìn)而證明題中結(jié)論成立.

（1）由拋物線的定義知，，.

將點(diǎn)代入，得，得.

拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，

由，消去得：，則，

，.

設(shè)直線中垂線的方程為：，

令，得：，則點(diǎn)，，.

，

故為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，其漸近線為，且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與相交于兩點(diǎn)，直線的法向量為，且，求的值

（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足，求的值及的面積.

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【題目】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

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【題目】已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>，記函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn)，在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有多年的歷史，對(duì)唐三彩的復(fù)制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史.某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中，對(duì)仿制的件工藝品測(cè)得重量（單位：）數(shù)據(jù)如下表：

分組

頻數(shù)

頻率

合計(jì)

（1）求出頻率分布表中實(shí)數(shù)，的值；

（2）若從仿制的件工藝品重量范圍在的工藝品中隨機(jī)抽選件，求被抽選件工藝品重量均在范圍中的概率.

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【題目】已知圓C：，直線1過原點(diǎn)O．

（1）若直線l與圓C相切，求直線l的斜率；

（2）若直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，若．求直線l的方程．

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【題目】下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）

（1）若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；

（2）若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

（3）若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；

（4）若，則的取值范圍是

A.4B.1C.2D.3

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【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）若，證明：．

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【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，證明：.

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