Question

已知橢圓，過右焦點F斜率為的直線與橢圓C交于A、B兩點，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設 =3m，=m，故|AB|=4m．由橢圓的第二定義可得|AD|=，|BC|=，求得|AE|=．
由AB的斜率tan∠BAE=，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE= 求出e的值．
解答：解：如圖所示：過點A作AD垂直于右準線，垂足為D；過點B作BC垂直于右準線，垂足為C；
過點B作BE垂直于AD，垂足為E．
因為 ，可設 =3m，=m，故|AB|=4m．
由橢圓的第二定義可得|AD|=，|BC|=，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=．
由于直線AB的斜率等于，∴tan∠BAE=，∴cos∠BAE=．
直角三角形ABE中，cos∠BAE====，解得離心率e=，
故選：D．

點評：本題考查橢圓的第二定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，直角三角形中的邊角關系，體現(xiàn)了數(shù)形
結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．