【題目】如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=1,AB=,BC=,AA1=.

(1)求證:A1B⊥B1C;

(2)求二面角A1—B1C—B的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)根據(jù)ABC﹣A1B1C1是直三棱柱得到面ABB1A1⊥面ABC,從而證得AC⊥面ABB1A1,連接AB1,可得A1B⊥AB1,最后由三垂線定理得A1B⊥B1C;

(2)作BD⊥B1C,垂足為D,連接A1D,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠A1DB為二面角A1﹣B1C﹣B的平面角,根據(jù)Rt△A1B1C≌Rt△B1BC,可求出此角,從而得到二面角A1﹣B1C﹣B的大。

(1)由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2,

所以AC⊥AB.

因為ABC—A1B1C1是直三棱柱,面ABB1A1⊥面ABC,

所以AC⊥面ABB1A1.

,知側面ABB1A1是正方形,連結AB1, 所以A1B⊥AB1

AC=1,AB,BCAC2+AB2BC2,

所以ACAB

因為ABCA1B1C1是直三棱柱,面ABB1A1⊥面ABC,

所以AC⊥面ABB1A1

,知側面ABB1A1是正方形,連接AB1,

所以A1BAB1

由三垂線定理得A1BB1C

2)作BDB1C,垂足為D,連接A1D.由(I)知,A1BB1C,則B1C⊥面A1BD,

于是B1CA1D,則∠A1DB為二面角A1B1CB的平面角.

A1B1A1C1,∴A1B1A1C

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC,

,

,

故二面角A1B1CB的余弦值為

練習冊系列答案
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(個)

2

3

4

5

6

(百萬元)

2.5

3

4

4.5

6

(1)該公司已經過初步判斷,可用線性回歸模型擬合的關系,求關于的線性回歸方程

(2)假設該公司在區(qū)獲得的總年利潤(單位:百萬元)與之間的關系為,請結合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應在區(qū)開設多少個分店時,才能使區(qū)平均每個店的年利潤最大?

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