Question

（本小題共12分）如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．

（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)， 證明EF//平面PAC；

（2）求三棱錐E-PAD的體積；

（3）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF．

Answer 1

（1）見解析；（2）（3）見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用線面平行的判斷定理證明線面平行歸根結(jié)底是證明線線平行，關(guān)鍵是要注意一條直線在平面內(nèi)另一條直線在平面外．（2）在求三棱柱體積時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)牡鬃鳛榈酌�，這樣體積容易計(jì)算．（3）證明線線垂直的方法較多，如證明線面垂直、勾股定理、余弦定理．（4）另外解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．

試題解析：（1）證明： 連結(jié)AC，EF

∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、PB的中點(diǎn)

∴中， 2分

又 3分

∴當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，EF//平面PAC 4分

（2）∵PA平面ABCD且

∴，，

∴中，PA =，AD=1

∴ 6分

又四邊形ABCD為矩形

∴

又AD和PA是面PAD上兩相交直線

∴

又AD//BC

∴AB就是三棱錐E-PAD的高． 7分

∴ ． 8分

（3）∵，PA=AB=，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)

∴等腰中， 9分

又，且PA和AB是平面PAB上兩相交直線

∴BC平面PAB

又

∴ 10分

又PB和BC是平面PBC上兩相交直線

∴ 11分

又 ∴

∴無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF成立． 12分

考點(diǎn)：空間幾何體的線線、線面關(guān)系以及體積公式．