Question

（本題滿分12分）已知函數，．
（1）求函數的單調區(qū)間和極值；
（2）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱；
證明：當時，
（3）如果且，證明

Answer 1

（Ⅰ）在區(qū)間內是增函數，在區(qū)間內是減函數．
函數在處取得極大值．且．
（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了運用導數研究函數的性質的綜合運用。
（1）利用導數，結合導數的符號與函數單調性的關系得到第一問中的單調區(qū)間和極值問題。
（2）先利用對稱性求解函數的解析式，然后構造函數證明不等式恒成立，或者利用第一問的結論，結合對稱性得到證明。
（3）由上可知函數的的單調性，結合性質可知不等式的證明。
（Ⅰ）．令，則．
當變化時，的變化情況如下表：

	增	極大值	減

所以在區(qū)間內是增函數，在區(qū)間內是減函數．
函數在處取得極大值．且．
（Ⅱ）因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，
所以，于是．
記，則，，
當時，，從而，又，所以，
于是函數在區(qū)間上是增函數．
因為，所以，當時，．因此．
（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
(2) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
根據(1)，(2)可得．不妨設．
由（Ⅱ）可知，所以．
因為，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內是增函數，
所以　，即．