已知橢圓的離心率為,直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點,
線段垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(Ⅲ)設軸交于點,不同的兩點上,且滿足,求的取值范圍.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

試題分析:(Ⅰ)利用離心率和直線與圓相切得到兩個等量關系,確定橢圓方程;(Ⅱ)利用定義法求解曲線方程;(Ⅲ)采用坐標法,將向量問題坐標化,進行有效的整理為,然后借助均值不等式進行求解范圍.
試題解析:(Ⅰ)∵  
∵直線相切,
  ∴       3分
∵橢圓的方程是          6分
(Ⅱ)∵
∴動點到定直線的距離等于它到定點的距離,
∴動點的軌跡是準線,為焦點的拋物線       6分
∴點的軌跡的方程為     9分
(Ⅲ),設 
 
,∴
,化簡得         11分

當且僅當時等號成立      13分
,又
∴當時,,故的取值范圍是  14分
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