Question

20．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3^n-1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，代入即可求得a_n=S_n-S_n-1=n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知：c_n=a_nb_n=n•3^n-1，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n＞1）在曲線x²-y²=n上，
∴S_n-S_n-1=n，
則a_n=S_n-S_n-1=n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知：a_n=n，b_n=3^n-1，
則c_n=a_nb_n=n•3^n-1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=1•3⁰+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，①
3T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ，
=1+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-n•3ⁿ，
=$\frac{（1-2n）•{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{4}$+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．