Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)和角公式，得到2sinBcosA=sin（A+C），然后，結(jié)合三角函數(shù)中角的關(guān)系，得到角A的大��；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），正弦定理，得到b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，然后，構(gòu)造三角形的周長表達(dá)式，利用輔助角公式化簡后，并且結(jié)合角度的范圍，求解△ABC的周長的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)的和角公式，得
2sinBcosA=sin（A+C），
∵B=π-（A+C），
∴sinB=sin（A+C），
∴2sinBcosA=sinB，B∈（0，π），
∵sinB≠0，
∴2cosA=1，∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∵a=6，A=

π

3

，
b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，B=

2π

3

-C，
∴l(xiāng)=a+b+c
=6+4

3

sinB+4

3

sinC
=6+4

3

sin（

2π

3

-C）+4

3

sinC
=6+6cosC+6

3

sinC
=6+12sin（C+

π

6

）
∵C∈（0，

2π

3

），
∴C+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴12sin（C+

π

6

）∈（6，12]，
∴△ABC的周長的取值范圍（12，18]．

點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)、三角恒等變換公式、解三角形等知識，屬于中檔題．