Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n；
（2）記 Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，試比較T_n與

5

9

的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意建立關(guān)于q和a₂的方程組，解之可得a₂=6，進(jìn)而得到{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）根據(jù)（1）中求出的{a_n}的通項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得出Sn=

n(3+3n)

2

，從而化簡(jiǎn)出

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，用裂項(xiàng)法求出T_n=

n-5

9(n+1)

，最后根據(jù)n與5的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到T_n與

5

9

的大小的幾種情況．

解答：解：（1）等比數(shù)列{b_n}的公比為q，結(jié)合題意可得

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，解之得，q=3或q=-4（負(fù)值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn=

n(3+3n)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
由此可得：Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．
∴Tn-

5

9

=

2n

3(n+1)

-

5

9

=

n-5

9(n+1)

令

n-5

9(n+1)

＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令

n-5

9(n+1)

=0，得n=5；令

n-5

9(n+1)

＞0，得n＞5
∴當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，Tn＜

5

9

；當(dāng)n=5時(shí)，Tn=

5

9

；當(dāng) n＞5（n∈N₊）時(shí)，Tn＞

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求通項(xiàng)公式并比較{a_n}的前n項(xiàng)和的倒數(shù)和與

5

9

的大�。�著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及用不等式比較大小等知識(shí)，屬于中檔題．