Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinx+cosx．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）cosx，x∈[0，

π

2

]，求g（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；
（2）化簡函數(shù)g（x）=f（x）cosx=

3

sinxcosx+cos²x=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，然后，根據(jù)x∈[0，

π

2

]，求解其值域．

解答： 解：（1）f（x）=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin（x+

π

6

），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間滿足：
-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）cosx=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
∴g（x）的值域為[0，

3

2

]．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、輔助角公式等知識，屬于中檔題．