Question

（2013•許昌二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，并且直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
（I）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)S(0，-

1

3

)的動(dòng)直線l交橢圓C₁于A、B兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）先跟據(jù)直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線，求出b的值，再由橢圓離心率為

2

2

，求出a的值，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，再用垂直時(shí)，向量

PA

，

PA

的數(shù)量積為0，得到關(guān)于直線斜率k的方程，求k，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．

解答：解：（I）由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
所以△=0⇒b=1e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

所以橢圓C1：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓方程為x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓方程為x²+y²=1
所以兩圓的切點(diǎn)為點(diǎn)（0，1）（8分）
所求的點(diǎn)T為點(diǎn)（0，1），證明如下．
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l為：y=kx-

1

3

由  

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

TA

•

TB

=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

18k2+9

-

4

3

×

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以

TA

⊥

TB

，即以AB為直徑的圓過點(diǎn)（0，1）
所以存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合運(yùn)用，另外，還結(jié)合了向量知識(shí)，綜合性強(qiáng)，須認(rèn)真分析．