【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程;

2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程可得答案;(Ⅱ)對(duì)m進(jìn)行討論,解可得函數(shù)的增區(qū)間,解得函數(shù)的減區(qū)間;(III)由題意可知g′(x=0在(12)上有解,討論m的范圍,判斷g′(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù),得出結(jié)論.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,

所以,

,

所以曲線處的切線方程為

(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

1)當(dāng)時(shí),

因?yàn)?/span>,

所以的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間.

2)當(dāng),即時(shí),令,得

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

所以的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為

綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間;

當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為

(Ⅲ)因?yàn)?/span>

所以.

.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),

則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

,

所以內(nèi)有唯一零點(diǎn).

時(shí),

時(shí),

內(nèi)為減函數(shù),在內(nèi)為增函數(shù).

又因?yàn)?/span>內(nèi)存在零點(diǎn),

所以

解得.

顯然內(nèi)有唯一零點(diǎn),記為.

當(dāng)時(shí),時(shí),,所以點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),即點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),

內(nèi)成立,

所以內(nèi)單調(diào)遞增,故無(wú)極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),易得時(shí),無(wú)極值點(diǎn).

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;

2)試問為何值時(shí),廣告位出租的總收入最大,并求出其最大值.

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)求橢圓C的方程;

)設(shè)動(dòng)直線與兩定直線分別交于兩點(diǎn).若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

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2)求拋物線的方程.

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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(1)求盈利額(萬(wàn)元)與使用年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該設(shè)備使用多少年,商家的年平均盈利額最大?最大年平均盈利額是多少?

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