Question

【題目】如圖①，在正方形的各邊上分別取四點，使，將正方形沿對角線折起，如圖②

（1）證明：圖②中為矩形；

（2）當二面角為多大時，為正方形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當二面角A-BD-C為時，四邊形EFGH為正方形

【解析】

（1）根據對應邊成比例可得EF∥BD，HG∥BD，從而可得EF∥HG，即四邊形EFGH為平行四邊形，設O為BD的中點，連接AO，CO，BD，利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC，從而可得BD⊥AC，進而可得EF⊥EH，即證.

（2）設AB=a，可得，由題意只需使EH=HG，根據比例可得，由∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，AO=CO=AC，即可求得二面角A-BD-C為600.

（1）因為AE：EB=AF：FD，所以EF∥BD，

同理可得，HG∥BD，所以EF∥HG；

同理可得EH∥FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形，

設O為BD的中點，連接AO，CO，BD，

BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，故BD⊥AC，

又因為BD∥EF，AC∥EH，所以EF⊥EH

所以EFGH為矩形

（2）設AB=a

則，

要使四邊形EFGH為正方形，只需使EH=HG

，

由（1）可知∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，且AO=CO=AC，

所以，當二面角A-BD-C為600時，四邊形EFGH為正方形