Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，過，三點(diǎn)的圓恰好與直線相切．

求橢圓的方程；

過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）存在， .

【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，利用以及得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用外接圓圓心到該直線的距離等于半徑，可求出的值，進(jìn)而得出與的值，從而得出橢圓的方程；令，得出，設(shè)點(diǎn)、，將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將條件“以為鄰邊的平行四邊形是菱形”轉(zhuǎn)化為，得出這兩條直線的斜率之積為，然后得出的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

設(shè)橢圓C的焦距為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，

如下圖所示，

，，

，則，所以，，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

直線與直線AQ垂直，且點(diǎn)，所以，，，

由，得，則，．

為直角三角形，且為斜邊，

線段的中點(diǎn)為，的外接圓半徑為2c．

由題意可知，點(diǎn)到直線的距離為，

所以，，，，

因此，橢圓C的方程為.

由題意知，直線的斜率，并設(shè)，則直線l的方程為，

設(shè)點(diǎn)、

將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，

消去x得，

由韋達(dá)定理得，．

，．

所以，線段MN的中點(diǎn)為點(diǎn)．

由于以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，則，所以，．

由兩點(diǎn)連線的斜率公式可得，得．

由于，則，所以，，所以，．

因此，在x軸上存在點(diǎn)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，

且實(shí)數(shù)m的取值范圍是．