Question

從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加. 

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元，寫出a_n,b_n的表達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

Answer 1

解析:

(1)第1年投入為800萬元，

第2年投入為800×(1－)萬元，…

第n年投入為800×(1－)^n－1萬元，

所以，n年內(nèi)的總投入為:

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1

=800×(1－)^k－1=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游業(yè)收入為400萬元，

第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，

第n年旅游業(yè)收入400×(1+)^n－1萬元 

所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1

=400×()^k－1=1600×［()ⁿ－1］

(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，即1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，

令x=()ⁿ，代入上式得: 5x²－7x+2＞0 

解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去) 

即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.