Question

【題目】1844年，杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家貝塞發(fā)現(xiàn)天狼星的運動偏離直線路徑的最大角度為，周期T為50年，且呈正弦曲線（與地球上觀察者的運動無關(guān)），如圖甲所示，貝塞推測天狼星運動路線彎曲是由于存在著一個較小的伴星（經(jīng)過18年以后已為直接觀察所證實）。如果天狼星自身的質(zhì)量M為，求伴星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量M之比。

已知從天狼星看地球軌道半徑的張角為"；可以把天狼星和它的伴星的軌道看作圓形，且軌道平面垂直于太陽系到天狼星的方向。

Answer 1

【答案】

【解析】

畫出地球、天狼星及其伴星的運動軌道示意圖，如圖乙所示.

設(shè)天狼星質(zhì)量為M，伴星質(zhì)量為m，為天狼星與伴星之間的距離，分別為天狼星、伴星到它們質(zhì)心C的距離。天狼星繞C做圓周運動，向心力由它與伴星間的萬有引力提供。設(shè)角速度為，則

，

所以有.

又由示意圖知.

由于都很小，所以

.

即有.

根據(jù)質(zhì)心定理有，即.

所以有.

又地球繞太陽公轉(zhuǎn)，半徑為，周期年，有

，得.

進而，

即有，

解得.