Question

【題目】從地球表面向火星發(fā)射火星探測器。設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.500倍。簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行。第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲得足夠的動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運行的人造衛(wèi)星。第二步，在適當(dāng)時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲所示。

(1)為使探測器成為沿地球軌道運行的人造衛(wèi)星，必須加速探測器，應(yīng)使之在地面附近獲得多大的速度（相對于地球）？

(2)當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為，如圖乙所示。問：應(yīng)在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面？（時間計算僅需精確到日）已知地球半徑為，重力加速度可取。

Answer 1

【答案】同年的4月7日

【解析】

(1)設(shè)地球的質(zhì)量為，探測器及其附加裝置的總質(zhì)量為m，則探測器在地球表面的動能和引力勢能分別為

，

.

當(dāng)探測器脫離地球引力作用成為沿地球軌道運動的人造行星時，可以認(rèn)為探測器的引力勢能；相對于地球的速度為零，因而，由機(jī)械能守恒有

，

得.

代入數(shù)值得.

(2)為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時機(jī)點燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)，使得探測器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點時，火星也恰好運行到這一點。為此，必須首先確定點燃火箭發(fā)動機(jī)時探測器與火星的相對位置，已知探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道上運行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相同，即

.

根據(jù)開普勒第三定律，火星的公轉(zhuǎn)周期為

.

而探測器的橢圓軌道上的半長軸為

.

所以探測器在橢圓軌道上的運行周期為

.

因此探測器從點燃火箭發(fā)動機(jī)至到達(dá)火星，需時間.

探測器在點燃火箭發(fā)動機(jī)前繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度為

.

火星繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度為

.

由于探測器運行至火星需時255d，火星在此期間運行的角距離為

.

即探測器在橢圓軌道近日點發(fā)射時，火星應(yīng)在其遠(yuǎn)日點的切點之前。亦即點燃火箭發(fā)動機(jī)時，探測器與火星的角距離應(yīng)為，如圖丙所示。

已知某年3月1日零時探測器與火星的角距離為（火星在前，探測器在后）。為使其角距離成為，必須等待兩者在各自軌道中運行至某個合適的時機(jī)。

設(shè)兩者到達(dá)合適位置，探測器又經(jīng)歷的天數(shù)為t，則

，

即.

故點燃火箭發(fā)動機(jī)的時刻應(yīng)為當(dāng)年的3月1日之后38天，即同年的4月7日。