Question

【題目】在弗雷德·霍爾的一本小說(shuō)的末尾，書(shū)中的英雄以高的洛侖茲系數(shù)和與銀河系平面成直角的方向飛行，他說(shuō)他似乎在一個(gè)藍(lán)邊紅體的“金魚(yú)碗”內(nèi)部朝碗口飛行，費(fèi)曼用25張百元鈔票打賭說(shuō)，來(lái)自銀河系的光看來(lái)不會(huì)是那樣.已知他相對(duì)銀河參考系的飛行速率v=0.99c，并觀察到他飛行方向與他和銀河系邊緣連線的夾角，如圖所示。

(1)試求在飛行者看來(lái)，來(lái)自銀河系邊緣的光的方向與他飛行方向之間的夾角；

(2)試求飛行者接收到的來(lái)自銀河系邊緣的光的頻率與實(shí)際發(fā)出的光的頻率之比；

(3)取不同的角計(jì)算和的值，以判定誰(shuí)賭贏了？

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）霍爾贏了

【解析】

(1)取銀河系為S系、飛行者為系，系相對(duì)S系以速度v沿x方向運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。在S系中，來(lái)自銀河系邊緣的光的速度方向與x軸的夾角故光速沿x、y兩方向的分量分別為由速度變換公式，可得在S'，系中先速的兩個(gè)分量分別為（取）

設(shè)在系中此光速方向與軸的夾角為，有把和代入上式，得

，即

如圖表示了在飛行者看來(lái)銀河系的形狀，正如小說(shuō)中英雄所描述的那樣像個(gè)“金魚(yú)碗”，且他正在向碗口飛行。

(2)根據(jù)光的多普勒效應(yīng)公式，可得飛行者接收到的來(lái)思2自銀河系邊緣的光的頻率為

上式中為級(jí)河系邊嫁實(shí)際發(fā)出光的頻率. 與互為補(bǔ)角，如圖2所示，即有，把它以及代入上式，可得

從這一比率可見(jiàn)，飛行者看到來(lái)自銀河系邊緣的光發(fā)生了藍(lán)移現(xiàn)象，

（3）取，即，這時(shí)有

這是來(lái)自銀河系中心的光，在飛行者看來(lái)發(fā)生了紅移現(xiàn)象。

若取，這時(shí)有

，即處是個(gè)臨界角度。

若大于此角測(cè)充發(fā)生紅移，而日小于此角則光發(fā)生藍(lán)移，這就意味著越接近銀河系中心，發(fā)來(lái)的光紅移越明顯；而越接近銀河系邊緣，發(fā)來(lái)的光藍(lán)移越明顯。

當(dāng)飛行者位于銀河系中心向外飛行時(shí)，來(lái)自銀河系邊緣的光，有

即。于是有

從此比率可見(jiàn)，飛行者越接近銀河系中心，則來(lái)自銀河系邊緣，光的藍(lán)移程度越大。綜上所述，霍爾在小說(shuō)中描寫(xiě)的飛行英雄說(shuō)的話，即他在一個(gè)藍(lán)邊紅體的“會(huì)魚(yú)碗”內(nèi)部朝著碗口飛行的描述基本是正確的，費(fèi)曼賭輸了。