Question

【題目】如圖甲所示，S為離子源，它能各向同性地發(fā)射質(zhì)量為m、電量為q、速率同為的離子。S右側(cè)有一半徑為R的圓屏，S與圓屏中心O的連線垂直于圓屏。設周圍空間有勻強磁場，磁感應強度B的方向與S到O的方向一致。S發(fā)射的離子中，有些離子不管S、O之間的距離如何變化，總能打到屏面上，試求這些離子的數(shù)目占總發(fā)射離子數(shù)的百分比。解題時不必考慮離子間的相互作用。

Answer 1

【答案】

【解析】

將從S射出的離子初速度與B的夾角記為，那么與B垂直的分量為。

離子在勻強磁場中將作等距螺旋線運動，旋轉(zhuǎn)的圓半徑為：。

對于不管S、O之間的距離如何變化總能打到屏上的離子，要求滿足

，即。

取的下限滿足：。

以S為球心，某個長度參量為半徑作一球面，在此球面上取一球帽，使其與有如圖乙所示的對應關系，那么，從S發(fā)出的離子凡是能打在此球帽上的，均為符合要求的粒子，考慮到粒子是各向同性發(fā)射的，符合要求的離子數(shù)目占總離子數(shù)目的百分比k，即為球帽面積與球面面積之比，根據(jù)數(shù)學中給出的球帽公式，有

。

于是，所求k值便為

。

，

代入得。

討論：

上述結(jié)論僅對時成立。

若，則因，

對任意都有，因此向右發(fā)射的離子均能打到屏上，即恒有。