Question

【題目】導(dǎo)體質(zhì)量為、長(zhǎng)為，兩端借助兩根同樣的導(dǎo)電輕彈簧懸掛在電介體上，彈簧總勁度系數(shù)為.電容為 的電容器接在兩彈簧上端.整個(gè)結(jié)構(gòu)掛在垂直結(jié)構(gòu)平面、磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中，如圖所示.讓導(dǎo)體在豎直面上離開(kāi)平衡位置再放下.試確定導(dǎo)體在豎直面上將怎樣運(yùn)動(dòng)？導(dǎo)體電阻、自感和電容不計(jì).

Answer 1

【答案】取x軸為豎直向下方向，坐標(biāo)原點(diǎn)為桿的平衡位置。振幅A等于桿初始時(shí)刻的位移，于是任何時(shí)刻有

【解析】

取軸為豎直向下方向，坐標(biāo)原點(diǎn)為桿的平衡位置（圖示）.設(shè)在這個(gè)位置每根彈簧的增長(zhǎng)量均為，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有.

當(dāng)桿離開(kāi)平衡位置移動(dòng)時(shí)，它開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng)，其加速度指向平衡位置.同時(shí)桿中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電路中出現(xiàn)電流，電容器開(kāi)始充電.由于導(dǎo)電彈簧電阻為零，電容器上電壓等于并且電容器上電量等于.因此，在任何時(shí)刻電路中電流為

.

磁場(chǎng)中帶電桿受到安培力作用，即

安培力什么方向？為了確定起見(jiàn)，設(shè)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，當(dāng)桿豎直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)桿中感生電動(dòng)勢(shì)方向從左向右.在桿位于平衡位置下方情況下，桿中電流方向與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向一致，于是電容器充電.同時(shí)力向下，即與桿加速度的方向相反.在桿出現(xiàn)在平衡位置上方情況下，感生電動(dòng)勢(shì)方向保持不變，但是桿的速度以及感生電動(dòng)勢(shì)減小.這時(shí)電容器放電，桿中電流改變方向，因而力也改變方向，現(xiàn)在它的方向向上，即又與加速度方向相反.可見(jiàn)

.

根據(jù)牛頓第二定律列出桿的運(yùn)動(dòng)方程：

.

整理得：.

這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其振動(dòng)頻率為

.

振幅等于桿初始時(shí)刻的位移，于是任何時(shí)刻有.

在磁場(chǎng)中做切割磁場(chǎng)線運(yùn)動(dòng)的金屬桿與電容構(gòu)成回路的模型有很多種，本題只是其中的代表.

本類試題不論怎樣構(gòu)造模型，其共性特征是，電容器的充放電電流引起的安培力與金屬桿運(yùn)動(dòng)的加速度之間滿足.這一關(guān)系的臨場(chǎng)推導(dǎo)是這類試題的主要障礙，且試題多以此為問(wèn)題的切入點(diǎn)，進(jìn)而討論相關(guān)的問(wèn)題.