Question

畫(huà)出等邊三角形BAC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形（△BA′C′），并連接AC′、CA′．
（1）直接寫(xiě)出∠ABC′、∠CAC′、∠A′CB、∠CA′B的度數(shù)；
（2）利用結(jié)論（1）判斷四邊形CAC′A′的形狀，并進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）找出點(diǎn)B、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠ABC=60°，再根據(jù)∠ABC′=∠ABC+∠CBC′進(jìn)行計(jì)算即可得解；根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BAC′，再求出∠CAC′，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠A′CB、∠CA′B的度數(shù)；
（2）根據(jù)度數(shù)求出∠CAC′+∠ACA′=180°，然后利用同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行求出A′C∥AC′，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出AC=A′C′，從而求出四邊形CAC'A'是等腰梯形．

解答：（1）解：作圖如圖所示；
∵△BAC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC′=∠ABC+∠CBC′=60°+90°=150°，
在△ABC′中，AB=BC′，
∴∠BAC′=

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（180°-150°）=15°，
∴∠CAC′=∠BAC-∠BAC′=60°-15°=45°；
在△A′BC中，BC=BA′，∠A′BC=∠CBC′-∠C′BA′=90°-60°=30°，
∴∠A′CB=∠CA′B=

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（180°-30°）=75°；

（2）四邊形CAC′A′是等腰梯形．
證明：∵∠ACA′=∠ACB+∠A′CB=60°+75°=135°，
∴∠CAC′+∠ACA′=45°+135°=180°，
∴A′C∥AC′，
又∵△BA′C′是△BAC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴AC=A′C′，
∴四邊形CAC′A′是等腰梯形．
故答案為：∠ABC′=150°，∠CAC′=45°，∠A′CB=75°，∠CA′B=75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰梯形的判定，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．