Question

Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF²=AE•EC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)FE交BA的延長(zhǎng)線于H，由AD∥HF，得出

HE

AP

=

BE

BP

，

EF

DP

=

BE

BP

，可得到

HE

AP

=

EF

DP

，由AP=DP，可得出HE=EF，再利用Rt△AEH∽R(shí)t△FEC，即可得出EF²=AE•EC．

解答：解：如圖：延長(zhǎng)FE交BA的延長(zhǎng)線于H，

∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥HF
∴

HE

AP

=

BE

BP

，

EF

DP

=

BE

BP

，
∴

HE

AP

=

EF

DP

，
∵P為AD的中點(diǎn)，
∴AP=DP，
∴HE=EF
∵∠AEH=∠CEF，
∴Rt△AEH∽R(shí)t△FEC，
∴

AE

FE

=

HE

EC

，即

AE

EF

=

EF

EC

，
∴EF²=AE•EC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．