Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是以PQ為底的等腰三角形？
（2）求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（用含t的式子表達(dá)）
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積是△ABO面積的

1

5

？

Answer 1

分析：（1）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，那么AQ=AP時(shí)，由解析式可得A（6，0），B（0，8），再利用勾股定理得AB=10，然后可以把AQ和AP用t表示，因此得到關(guān)于t的方程，解方程即可；
（2）如圖，過(guò)Q點(diǎn)分別向x軸，y軸引垂線，垂足分別是M，N，設(shè)Q（x，y）由題意可知BQ=2t，AP=t，利用△BQN∽△QMA∽△BOA的對(duì)應(yīng)邊成比例就可以用t分別表示x、y，也就求出了點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）（2）知道，△APQ的面積=

1

2

AP×QM，△AOB的面積=

1

2

×6×8=24，因此可以得到關(guān)于t的方程，解方程即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）當(dāng)AQ=AP時(shí)，是以PQ為底的等腰三角形，
∵直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AB=10，
∴AQ=10-2t，AP=t
即10-2t=t，
∴t=

10

3

（秒），
當(dāng)t=

10

3

時(shí)，是以PQ為底的等腰三角形；

（2）過(guò)Q點(diǎn)分別向x軸，y軸引垂線，垂足分別是M，N，
∴NQ∥OA，QM∥OB，
∴△BNQ∽△QMA∽△BOA，
設(shè)Q（x，y）
∴BQ=2t，AP=t
而△BQN∽△QMA∽△BOA，
∴

BQ

QN

=

AB

OA

，

QA

QM

=

AB

BO

，
∴

2t

x

=

10

6

，

10-2t

y

=

10

8

，
∴x=

6

5

t，y=

4

5

(10-2t)
Q，P的坐標(biāo)分別是[

6

5

t，

4

5

(10-2t)]，（6-t，0）；

（3）∵△APQ的面積=

1

2

AP×QM
△AOB的面積=

1

2

×6×8=24
∴

1

2

t×

4

5

(10-2t)=

1

5

×24
解得，t₁=2，t₂=3
∴當(dāng)t₁=2秒或，t₂=3秒時(shí)，△APQ的面積是△ABO面積的

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，題中運(yùn)用平行線的性質(zhì)、直線的解析式以及直角三角形等知識(shí)求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．