Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

1

18

x²-

4

9

x-10與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCA為平行四邊形？請(qǐng)寫出計(jì)算過程；
（3）當(dāng)0＜t＜

9

2

時(shí)，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式，當(dāng)x=0時(shí)，可求得B的坐標(biāo)；由于BC∥OA，把B的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求出C的坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，可求出A的坐標(biāo)．求頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)用公式法或配方法都可以；
（2）當(dāng)四邊形ACQP是平行四邊形時(shí)，AP、CQ需滿足平行且相等的條件．已知BC∥OA，只需求t為何值時(shí)，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）當(dāng)0＜t＜

9

2

時(shí)，根據(jù)OA=18，P點(diǎn)的速度為4單位/秒，可得出P點(diǎn)總在OA上運(yùn)動(dòng)．△PQF中，Q到PF的距離是定值即OB的長(zhǎng)，因此只需看PF的值是否有變化即可得出S_△PQF是否為定值，已知QC∥PF，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出：

QC

OP

=

QD

DP

=

QE

EF

=

QC

AF

，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的長(zhǎng)為定值即PF的長(zhǎng)為定值，因此△PQF的面積是不會(huì)變化的．其面積的值可用

1

2

OA•OB求出；
（4）可先用t表示出P，F(xiàn)，Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式得出PF²，PQ²，F(xiàn)Q²，進(jìn)而可分三種情況進(jìn)行討論：
①△PFQ以PF為斜邊．則PF²=PQ²+FQ²，可求出t的值．
②△PFQ以PQ為斜邊，方法同①
③△PFQ以FQ為斜邊，方法同①．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．

解答：解：（1）y=

1

18

（x²-8x-180），
令y=0，得x²-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=

1

18

x²-

4

9

x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10，
由-10=

1

18

x²-

4

9

x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

98

9

），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-

98

9

）；

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=

18

5

；

（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒，則OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
說明P在線段OA上，且不與點(diǎn)OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

QD

DP

=

QC

OP

=

t

4t

=

1

4

∵△AEF∽△CEQ，
∴AF：CQ=AE：EC=DP：QD=4：1，
∴AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵點(diǎn)Q到直線PF的距離d=10，
∴S_△PQF=

1

2

PF•d=

1

2

×18×10=90，
于是△PQF的面積總為90；

（4）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．
①若FP=FQ，則18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

25

．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2=

224 25

=

4 14

5

．
∴t=

4 14

5

-2，
②若QP=QF，則（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，無0≤t≤4.5的t滿足．
③若PQ=PF，則（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于

224

≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（

29

2

）²=

841

4

＜224．
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
注：也可解出t=

8-4 14

5

＜0或t=

8+4 14

5

＞4.5均不合題意，
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
綜上所述，當(dāng)t=

4 14

5

-2時(shí)，△PQF為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形平移變換、平行四邊形的判定、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．