Question

（2013•平南縣二模）如圖，在扇形EAB中，半徑長AB=10，∠EAB=90°；以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)D是弧BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BD與半圓O交于點(diǎn)C，DG⊥AB于點(diǎn)G，DG與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)OF．
（1）求證：DC=BC；
（2）設(shè)AG=x，F(xiàn)G²=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)G落在線段OB上，當(dāng)△FOG∽△ABC時(shí)，求線段AG的長度．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AD，構(gòu)建等腰△ABD，理由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）在直角△ADG中，由勾股定理得到：DG²=AD²-AG²=100-x²，則易求DG=

100-x2

；然后通過相似三角形Rt△AFG∽R(shí)t△DBG的對(duì)應(yīng)邊成比例知：

FG

AG

=

BG

DG

，即

FG

x

=

10-x

100-x2

，易求y=FG²=

x2(10-x)

10+x

，期中，x的取值范圍為：0≤x≤10；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時(shí)．結(jié)合Rt△AFG∽R(shí)t△ABC，推知Rt△FOG∽R(shí)t△AFG，則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例：
FG²=AG•OG=x（x-5），解得：x=

5±5 17

4

，經(jīng)檢驗(yàn)可知，AG=

5+5 17

4

．

解答：
（1）證明：如圖，連接AD．
∵點(diǎn)D、B在弧BE上，
∴AD=AB．
∵點(diǎn)C在半圓O上，AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
∴DC=BC；

（2）∵AD=AB=10，AG=x，
∴BG=10-x．
∵DG⊥AB于點(diǎn)G，
∴在直角△ADG中，DG²=AD²-AG²=100-x²，
∴DG=

100-x2

．
∵∠CAB+∠B=∠D+∠B=90°，
∴∠FAG=∠D，
∴Rt△AFG∽R(shí)t△DBG，
∴

FG

AG

=

BG

DG

，
∴

FG

x

=

10-x

100-x2

，則FG=

x(10-x)

100-x2

，
∴y=FG²=

x2(10-x)

10+x

，期中，x的取值范圍為：0≤x≤10；

（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時(shí)．
∵Rt△AFG∽R(shí)t△ABC，
∴Rt△FOG∽R(shí)t△AFG，
∴FG²=AG•OG=x（x-5），
∴

x2(10-x)

10+x

=x（x-5），
解得：x=

5±5 17

4

，
經(jīng)檢驗(yàn)可知，AG=

5+5 17

4

．
綜上所述，當(dāng)△FOG∽△ABC時(shí)，AG=

5+5 17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．難度較大，需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的，綜合性的掌握．