Question

無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，對(duì)于直線(xiàn)都會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，我們就稱(chēng)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
（1）無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，直接寫(xiě)出定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)，且∠B，∠C的角平分線(xiàn)分別是y軸和直線(xiàn)，求邊BC所在直線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

Answer 1

（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）. 

解析試題分析：（1）將變形為，只要的系數(shù)為0，即有無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由該兩點(diǎn)在直線(xiàn)BC上，應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可.
（3）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，y軸和直線(xiàn)的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心，從而應(yīng)用面積公式即可求解.
試題解析：（1）∵可變形為，
∴當(dāng)，即或時(shí)，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴A（0,2）或（3，）.
（2）∵△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)， 
∴A（3，）.
∵∠B，∠C的角平分線(xiàn)分別是y軸和直線(xiàn)，
∴點(diǎn)B、點(diǎn)C在點(diǎn)A關(guān)于y軸、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所確定的直線(xiàn)上.
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
直線(xiàn)DE與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C. 連接AB，AC.
設(shè)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為.
則有，解之，得.
所以，.

（3） ∵∠B，∠C的角平分線(xiàn)分別是y軸和直線(xiàn)，
∴y軸和直線(xiàn)的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心.
過(guò)點(diǎn)O作OF于F，則OF即為△ABC內(nèi)切圓的半徑.
設(shè)BC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)G，易知 ,.
∴.
∵,
∴，即△ABC內(nèi)切圓的半徑為. 
考點(diǎn)：1.函數(shù)和平面幾何綜合題；2.角平分線(xiàn)的性質(zhì)；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.三角形的內(nèi)切圓；6.勾股定理；7.三角形面積公式.