Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足(a+2)2+

b-2

=0，過C作CB⊥x軸于B．
（1）求△ABC的面積．
（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABC和△ACP的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì),非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得a=-2，b=2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算；
（2）過E作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得BD∥AC∥EF，且∠3=

1

2

∠CAB=∠1，∠4=

1

2

∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=

1

2

（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入計(jì)算即可；
（3）分類討論：設(shè)P（0，t），當(dāng)P在y軸正半軸上時(shí)，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4可得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t；
當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，運(yùn)用同樣方法可計(jì)算出t．

解答：解：（1）∵（a+2）²+

b-2

=0，
∴a=2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2），
∴△ABC的面積=

1

2

×2×4=4；

（2）解：∵CB∥y軸，BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
過E作EF∥AC，如圖①，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=

1

2

∠CAB=∠1，∠4=

1

2

∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=

1

2

（∠CAB+∠ODB）=45°；


（3）解：①當(dāng)P在y軸正半軸上時(shí)，如圖②，
設(shè)P（0，t），
過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴

4(t-2+t)

2

-t-（t-2）=4，解得t=3，
②當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖③
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4
∴

4(-t+2-t)

2

+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形面積公式．