Question

4．在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)在射線BC上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度從C點(diǎn)出發(fā)在線段CA上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）若AB=AC，P在線段BC上，求當(dāng)a為何值時(shí)，能夠使△BPD和△CQP全等？
（2）若∠B=60°，求出發(fā)幾秒后，△BDP為直角三角形？
（3）若∠C=70°，當(dāng)∠CPQ的度數(shù)為多少時(shí)，△CPQ為等腰三角形？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不必寫(xiě)出過(guò)程）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）分兩種情況；①當(dāng)∠BPD=90°時(shí)，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②當(dāng)∠BDP=90°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到當(dāng)P出發(fā)2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；
（3）分點(diǎn)P在邊BC上或點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上，△CPQ為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=20cm，D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=10cm，
∵點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度不同，
∴BP≠CQ，
要使△BPD和△CQP全等，
則BP=CP=8cm   CQ=BD=10cm，
∴x=$\frac{8}{2}=4$秒，
∴a=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$cm/s；

（2）①當(dāng)∠BPD=90°時(shí)，
∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，
∴2BP=BD=10，
∴BP=5，
 即2x=5，
∴x=2.5；
②當(dāng)∠BDP=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BP=2BD=20，
即2x=20，
∴x=10；
∴當(dāng)P出發(fā)2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；

（3）點(diǎn)P在邊BC上，△CPQ為等腰三角形，
①當(dāng)PQ=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠C=70°，
②當(dāng)PQ=PC，∵∠C=70°，
∴∠PQC=∠C=70°，
∴∠CPQ=180°-2×70°=40°，
③當(dāng)PC=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上，△CPQ為等腰三角形，
∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，
∵PC=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
綜上所述：當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，∠CPQ的度數(shù)為35°，40°，55°，70°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．