Question

【題目】如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若CD=3，AC=3，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明：連結(jié)OC（如圖所示）

則∠ACO=∠CAO （等腰三角形，兩底角相等）

∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD.

又∵AD⊥CD

∴AD∥CO

∴∠DAC=∠ACO （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠DAC=∠CAO

∴AC平分∠BAD ----------------5分

（2）過點(diǎn)E畫OE⊥AC于E（如圖所示）

在Rt△ADC中，AD==6

∵OE⊥AC， ∴AE=AC=

∵ ∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠

∴△AEO∽△ADC

∴即

∴AO=即⊙O的半徑為. ----------------5分

【解析】試題分析：（1）首先連接OC，由CD切⊙O于C，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；

（2）首先過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，由CD=3，AC=3，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，由垂徑定理，即可得AE的長(zhǎng)，然后易證得△AEO∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得⊙O的半徑長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∵CD切⊙O于C，

∴CO⊥CD．

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，

∵CD=3，AC=3，

在Rt△ADC中，AD=，

∵OE⊥AC，

∴AE=AC=，

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，

∴△AEO∽△ADC，

∴，

即，

∴AO=，

即⊙O的半徑為．