已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.如果x1、x2是方程x2-x-6=0的兩個(gè)根(x1<x2),且△ABC的面積為
15
2

(1)求此拋物線的解析式;
(2)求直線AC和BC的方程;
(3)如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合),過(guò)點(diǎn)P作直線y=m(m為常數(shù)),與直線BC交于點(diǎn)Q,則在x軸上是否存在點(diǎn)R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)A(-2,O),B(3,0),
S△ABC=
15
2
,
∴c=3,C(0,3).
∴拋物線的解析式是y=-
1
2
x2+
1
2
x+3.

(2)由(1)可知,直線AC的方程為y=
3x
2
+3,直線BC的方程為y=-x+3.

(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R,并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為E(0,m),
由(1),知AB=5,OC=3.
點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合,
∴點(diǎn)E(0,m)不與點(diǎn)O、C重合.
∴0<m<3.
由于PQ為等腰直角三角形加PQR的一腰,
過(guò)點(diǎn)P作PR1⊥x軸于點(diǎn)R1,則∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
即(3-m)-
2m-6
3
=m,
解得m=
15
8

∴P(xP,
15
8
),Q(xQ,
15
8
),
點(diǎn)P在直線AC上,
解得xP=-
3
4
,P(-
3
4
,
15
8
).
∴點(diǎn)R1(-
3
4
,0).
過(guò)點(diǎn)Q作QR2⊥x軸于R2,
同理可求得xQ=
9
8
,Q(
9
8
,
15
8
).
∴點(diǎn)R2
9
8
,0).驗(yàn)證成立,
當(dāng)∠PRQ=90°時(shí),PQ=2m,即(3-m)-
2m-6
3
=2m,
解得m=
15
11
,此時(shí)R的橫坐標(biāo)為
1
2
[(3-m)+
2m-6
3
]=
3
11

∴R1(-
3
4
,0)、R2
9
8
,0)、R3
3
11
,0)是滿足條件的點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.
(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)E作BC平行線,交x軸于點(diǎn)F,在不添加線和字母情況下,圖中面積相等的三角形有:______;
(3)將拋物線向下平移,與x軸交于點(diǎn)M、N,與y軸的正半軸交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)為Q.在四邊形MNQP中滿足S△NPQ=S△MNP,求此時(shí)直線PN的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(人教版)已知:二次函數(shù)y=x2-(m+1)x+m的圖象交x軸于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),交y軸正半軸于點(diǎn)C,且x12+x22=10.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)D(0,-
5
2
)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N,與x軸交于點(diǎn)E,使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱?若存在,求直線MN的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知:O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOB=30°,∠ABO=90°且A(2,0).求:過(guò)A、B、O三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn),頂點(diǎn)為F.
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)已知M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與C點(diǎn)重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
②若探究①中的M點(diǎn)位于第四象限,連接M點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

附加題:如圖所示,已知主橋拱為拋物線型,在正常水位下測(cè)得主拱寬24m,最高點(diǎn)離水面8m,以水平線AB為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.
(1)此橋拱線所在拋物線的解析式.
(2)橋邊有一浮在水面部分高4m,最寬處12
2
m的魚(yú)船,試探索此船能否開(kāi)到橋下?說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,記拋物線y=-x2+1的圖象與x正半軸的交點(diǎn)為A,將線段OA分成n等份,設(shè)分點(diǎn)分別為P1,P2,…Pn-1,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,分別與拋物線交于點(diǎn)Q1,Q2,…,Qn-1,再記直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,…,Pn-2Pn-1Qn-1的面積分別為S1,S2,…,這樣就有S1=
n2-1
2n3
,S2=
n2-4
2n3
,…;記W=S1+S2+…+Sn-1,當(dāng)n越來(lái)越大時(shí),你猜想W最接近的常數(shù)是( 。
A.
2
3
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的童裝,購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是60元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,在一段時(shí)間內(nèi),銷售單價(jià)是80元時(shí),銷售量是200件,而銷售單價(jià)每降低1元,就可多售出20件.
(1)寫(xiě)出銷售量y件與銷售單價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫(xiě)出銷售該品牌童裝獲得的利潤(rùn)w元與銷售單價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若童裝廠規(guī)定該品牌童裝銷售單價(jià)不低于76元,且商場(chǎng)要完成不少于240件的銷售任務(wù),則商場(chǎng)銷售該品牌童裝獲得的最大利潤(rùn)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,5
3
)
,AB=10,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0,2)出發(fā),沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著B(niǎo)C邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案