如圖1,拋物線F1:y=x2的頂點(diǎn)為P,將拋物線F1平移得到拋物線F2,使拋物線F2的頂點(diǎn)Q始終在拋物線F1圖象上(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合),過點(diǎn)Q直線QB∥x軸,與拋物線F1的另一個(gè)交點(diǎn)為B,拋物線F1的對(duì)稱軸交拋物線F2于點(diǎn)A.
(1)猜想四邊形ABOQ的形狀為______,若四邊形ABOQ有一個(gè)內(nèi)角為60°,則此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______;
(2)若將“拋物線F1:y=x2”改為“拋物線F1:y=ax2”,其他條件不變,請(qǐng)你在圖2中探究(1)中的問題;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若將“拋物線F1:y=ax2”改為“拋物線F1:y=a(x-m)2+n”,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a、m、n的式子表示).

解:(1)設(shè)平移后的拋物線F2的解析式為:y=(x-R)2+S,(R>0,S>0),
由于F2的頂點(diǎn)(R,S)在拋物線F1的圖象上,則有:
S=R2,即拋物線F2:y=(x-R)2+R2
當(dāng)x=0時(shí),y=2R2;
設(shè)AP與BQ的交點(diǎn)為M,則AM=PM=R2,
所以AP、BQ互相垂直平分,
即四邊形ABPQ是菱形;
由于菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°,則:
①△AMQ中,∠MAQ=30°時(shí),AM=QM,
即R2=R,
解得R=,此時(shí)Q(,3);
②△AMQ中,∠MAQ=60°時(shí),AM=QM,即R2=R,
解得R=,此時(shí)Q(,).

(2)設(shè)F2:y=a(x-R)2+S,(R>0,S>0),
同(1)可得:S=aR2,
即拋物線F2:y=a(x-R)2+aR2;
當(dāng)x=0時(shí),y=2aR2;
即AM=PM=aR2,故AP、BQ互相垂直平分,即四邊形ABPQ是菱形;
若菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°,同(1)可知:
①AM=QM,即aR2=R,解得R=,此時(shí)Q(,);
AM=QM,即aR2=R,解得R=,此時(shí)Q(,).

(3)設(shè)F2:y=a(x-R)2+S,(R>0,S>0),
同(2)得:S=a(R-m)2+n,即拋物線F2:y=a(x-R)2+a(R-m)2+n,
當(dāng)x=m時(shí),y=2a(R-m)2+n,
故AM=PM=a(R-m)2
同理可得四邊形ABPQ是菱形;
Q(m+,n+)或(m+,n+).
分析:此題3個(gè)小題的解法是一致的,首先表示出平移后的拋物線解析式,易知AP垂直平分線段BQ,只需看BQ是否垂直平分AP即可,可將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入平移后的拋物線中,即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo),然后比較AP的長(zhǎng)是否為Q、P縱坐標(biāo)差的2倍即可;
在證得四邊形ABPQ是菱形后,設(shè)AP與BQ的交點(diǎn)為M,若菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°,那么△AMQ中,∠MAQ=30°或60°,AM、MQ的長(zhǎng)可由點(diǎn)A、Q的坐標(biāo)獲得,根據(jù)AM=MQ或AM=MQ即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的判定方法,由于題目中大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是未知數(shù),所以難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,拋物線F1:y=x2的頂點(diǎn)為P,將拋物線F1平移得到拋物線F2,使拋物線F2的頂點(diǎn)Q始終在拋物線F1圖象上(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合),過點(diǎn)Q直線QB∥x軸,與拋物線F1的另一個(gè)交點(diǎn)為B,拋物線F1的對(duì)稱軸交拋物線F2于點(diǎn)A.
(1)猜想四邊形ABOQ的形狀為
 
,若四邊形ABOQ有一個(gè)內(nèi)角為60°,則此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
 
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(2)若將“拋物線F1:y=x2”改為“拋物線F1:y=ax2”,其他條件不變,請(qǐng)你在圖2中探究(1)中的問題;精英家教網(wǎng)
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若將“拋物線F1:y=ax2”改為“拋物線F1:y=a(x-m)2+n”,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a、m、n的式子表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,拋物線F1:y=x2+b1x的頂點(diǎn)為P,與x軸交于A、O兩點(diǎn),且△APO為等腰直角三角形,△A′P′O與△APO關(guān)于原點(diǎn)O位似,且△A′P′O與△APO在原點(diǎn)的兩側(cè),相似比為1:2,拋物線F2:y=a2x2+b2x經(jīng)過O、P′、A′三點(diǎn).
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(1)求A′O的長(zhǎng)及a2的值;
(2)若將“拋物線F1:y=x2+b1x”改為“拋物線F1:y=a1x2+b1x(a1>0)”,其他條件不變,求a2與a1的關(guān)系;
(3)如圖2,若將“拋物線F1:y=a1x2+b1x”改為“拋物線F1:y=a1x2+b1x+c1(a1>0)”,將“拋物線F2:y=a2x2+b2x”改為“拋物線F1:y=a2x2+b2x+c2”,將“相似比為1:2”改為“相似比為1:m”,猜想a2與a1的關(guān)系.(直接寫出答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年中考數(shù)學(xué)模擬卷(9)(解析版) 題型:解答題

如圖1,拋物線F1:y=x2的頂點(diǎn)為P,將拋物線F1平移得到拋物線F2,使拋物線F2的頂點(diǎn)Q始終在拋物線F1圖象上(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合),過點(diǎn)Q直線QB∥x軸,與拋物線F1的另一個(gè)交點(diǎn)為B,拋物線F1的對(duì)稱軸交拋物線F2于點(diǎn)A.
(1)猜想四邊形ABOQ的形狀為______,若四邊形ABOQ有一個(gè)內(nèi)角為60°,則此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年中考數(shù)學(xué)模擬卷(8)(解析版) 題型:解答題

如圖1,拋物線F1:y=x2的頂點(diǎn)為P,將拋物線F1平移得到拋物線F2,使拋物線F2的頂點(diǎn)Q始終在拋物線F1圖象上(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合),過點(diǎn)Q直線QB∥x軸,與拋物線F1的另一個(gè)交點(diǎn)為B,拋物線F1的對(duì)稱軸交拋物線F2于點(diǎn)A.
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